[转]文本相似性算法：simhash/minhash/余弦算法

上一次，我用TF-IDF算法自动提取关键词。

今天，我们再来研究另一个相关的问题。有些时候，除了找到关键词，我们还希望找到与原文章相似的其他文章。比如，"Google新闻"在主新闻下方，还提供多条相似的新闻。

为了找出相似的文章，需要用到"余弦相似性"（cosine similiarity）。下面，我举一个例子来说明，什么是"余弦相似性"。

为了简单起见，我们先从句子着手。

　　句子A：我喜欢看电视，不喜欢看电影。

　　句子B：我不喜欢看电视，也不喜欢看电影。

请问怎样才能计算上面两句话的相似程度？

基本思路是：如果这两句话的用词越相似，它们的内容就应该越相似。因此，可以从词频入手，计算它们的相似程度。

第一步，分词。

　　句子A：我/喜欢/看/电视，不/喜欢/看/电影。

　　句子B：我/不/喜欢/看/电视，也/不/喜欢/看/电影。

第二步，列出所有的词。

　　我，喜欢，看，电视，电影，不，也。

第三步，计算词频。

　　句子A：我 1，喜欢 2，看 2，电视 1，电影 1，不 1，也 0。

　　句子B：我 1，喜欢 2，看 2，电视 1，电影 1，不 2，也 1。

第四步，写出词频向量。

　　句子A：[1,0]

　　句子B：[1,1]

到这里，问题就变成了如何计算这两个向量的相似程度。

我们可以把它们想象成空间中的两条线段，都是从原点（[0,...]）出发，指向不同的方向。两条线段之间形成一个夹角，如果夹角为0度，意味着方向相同、线段重合；如果夹角为90度，意味着形成直角，方向完全不相似；如果夹角为180度，意味着方向正好相反。因此，我们可以通过夹角的大小，来判断向量的相似程度。夹角越小，就代表越相似。

以二维空间为例，上图的a和b是两个向量，我们要计算它们的夹角θ。余弦定理告诉我们，可以用下面的公式求得：

假定a向量是[x1,y1]，b向量是[x2,y2]，那么可以将余弦定理改写成下面的形式：

数学家已经证明，余弦的这种计算方法对n维向量也成立。假定A和B是两个n维向量，A是 [A1,A2,...,An] ，B是 [B1,B2,Bn] ，则A与B的夹角θ的余弦等于：

使用这个公式，我们就可以得到，句子A与句子B的夹角的余弦。

余弦值越接近1，就表明夹角越接近0度，也就是两个向量越相似，这就叫"余弦相似性"。所以，上面的句子A和句子B是很相似的，事实上它们的夹角大约为20.3度。

由此，我们就得到了"找出相似文章"的一种算法：

　　（1）使用TF-IDF算法，找出两篇文章的关键词；

　　（2）每篇文章各取出若干个关键词（比如20个），合并成一个集合，计算每篇文章对于这个集合中的词的词频（为了避免文章长度的差异，可以使用相对词频）；

　　（3）生成两篇文章各自的词频向量；

　　（4）计算两个向量的余弦相似度，值越大就表示越相似。

"余弦相似度"是一种非常有用的算法，只要是计算两个向量的相似程度，都可以采用它。

下面是PHP实现余弦相似度计算的算法

<?php
/**
 * 数据分析引擎
 * 分析向量的元素 必须和基准向量的元素一致，取最大个数，分析向量不足元素以0填补。
 * 求出分析向量与基准向量的余弦值
 */
/**
 * 获得向量的模
 * @param unknown_type $array 传入分析数据的基准点的N维向量。|eg:array(1,1);
 */
function getMarkMod($arrParam){
        $strModDouble = 0;
        foreach($arrParam as $val){
                $strModDouble += $val * $val;
        }
        $strMod = sqrt($strModDouble);
        //是否需要保留小数点后几位
        return $strMod;
}

/**
 * 获取标杆的元素个数
 * @param unknown_type $arrParam
 * @return number
 */
function getMarkLenth($arrParam){
        $intLenth = count($arrParam);
        return $intLenth;
}

/**
 * 对传入数组进行索引分配，基准点的索引必须为k，求夹角的向量索引必须为 'j'.
 * @param unknown_type $arrParam
 * @param unknown_type $index
 * @ruturn $arrBack
 */
function handIndex($arrParam,$index = 'k'){
        foreach($arrParam as $key => $val){
                $in = $index.$key;
                $arrBack[$in] = $val;
        }
        return $arrBack;
}

/**
 *
 * @param unknown_type $arrMark 标杆向量数组（索引被处理过）|array('k0'=>1,'k1'=>2....)
 * @param unknown_type $arrAnaly 分析向量数组（索引被处理过）|array('j0'=>1,'j1'=>2....)
 * @param unknown_type $strMarkMod 标杆向量的模
 * @param unknown_type $intLenth 向量的长度
 */
function getCosine($arrMark,$arrAnaly,$strMarkMod,$intLenth){
        $strVector = 0;
        $strCosine = 0;
        for($i = 0; $i < $intLenth; $i++){
                $strMarkVal = $arrMark['k'.$i];
                $strAnalyVal = $arrAnaly['j'.$i];
                $strVector += $strMarkVal * $strAnalyVal;
        }
        $arrAnalyMod = getMarkMod($arrAnaly); //求分析向量的模
        $strFenzi = $strVector;
        $strFenMu = $arrAnalyMod * $strMarkMod;
        $strCosine = $strFenzi / $strFenMu;
        if(0 !== (int)$strFenMu){
                $strCosine = $strFenzi / $strFenMu;
        }
        return $strCosine;
}
//基准点的N维向量
$arrMark = array(1,1);
//分析点的N维向量
$arrAnaly = array(1,4,5);
//向量的模
$MarkMod = getMarkMod($arrMark);
//向量的长度
$MarkLenth = getMarkLenth($arrMark);
//标杆向量数组
$Index1 = handIndex($arrMark,"k");
//分析向量数组
$Index2 = handIndex($arrAnaly,"j");
//分析向量与基准向量的余弦值
$Cosine = getCosine($Index1,$Index2,$MarkMod,$MarkLenth);
echo "向量的模：".$MarkMod;
echo "<br>";
echo "向量的长度：".$MarkLenth;
echo "<br>";
echo "标杆向量数组：";
print_r($Index1);
echo "<br>";
echo "分析向量数组：";
print_r($Index2);
echo "<br>";
echo "分析向量与基准向量的余弦值：".$Cosine;
?>

（编辑：晋中站长网）

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